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位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据，位运算是相当快的。

常用的运算符共 6 种，分别为与（ & ）、或（ | ）、异或（ ^ ）、取反（ ~ ）、左移（ << ）和右移（ >> ）。

与、或、异或

与（ & ）或（ | ）和异或（ ^ ）这三者都是两数间的运算，因此在这里一起讲解。

它们都是将两个整数作为二进制数，对二进制表示中的每一位逐一运算。

运算符 解释
& 只有两个对应位都为 1 时才为 1
` `
^ 只有两个对应位不同时才为 1

异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 a ^ b ^ b = a 。

取反

取反是对一个数 $num$ 进行的计算，即单目运算。

~ 把 $num$ 的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）。有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。

补码：在二进制表示下，正数和 0 的补码为其本身，负数的补码是将其对应正数按位取反后加一。

举例（有符号整数）：

$$
\begin{aligned}
5&=(00000101)_2\
\text{}5&=(11111010)_2=-6\
-5\text{ 的补码}&=(11111011)_2\
\text{}(-5)&=(00000100)_2=4
\end{aligned}
$$

左移和右移

num << i 表示将 $num$ 的二进制表示向左移动 $i$ 位所得的值。

num >> i 表示将 $num$ 的二进制表示向右移动 $i$ 位所得的值。

举例：

$$
\begin{aligned}
11&=(00001011)_2\
11<<3&=(01011000)_2=88\
11>>2&=(00000010)_2=2
\end{aligned}
$$

移位运算中如果出现如下情况，则其行为未定义：

  1. 右操作数（即移位数）为负值；
  2. 右操作数大于等于左操作数的位数；

复合赋值位运算符

和 += , -= 等运算符类似，位运算也有复合赋值运算符： &= , |= , ^= , <<= , >>= 。（取反是单目运算，所以没有。）

关于优先级

位运算的优先级低于算术运算符（除了取反），而按位与、按位或及异或低于比较运算符（详见 运算页面 ），所以使用时需多加注意，在必要时添加括号。

位运算的应用

位运算一般有三种作用：

  1. 高效地进行某些运算，代替其它低效的方式。

  2. 表示集合。（常用于 状压 DP 。）

  3. 题目本来就要求进行位运算。

需要注意的是，用位运算代替其它运算方式（即第一种应用）在很多时候并不能带来太大的优化，反而会使代码变得复杂，使用时需要斟酌。（但像“乘 2 的非负整数次幂”和“除以 2 的非负整数次幂”就最好使用位运算，因为此时使用位运算可以优化复杂度。）

乘 2 的非负整数次幂

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int mulPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n*(2^m)
  return n << m;
}

除以 2 的非负整数次幂

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int divPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n/(2^m)
  return n >> m;
}

!!! warning
我们平常写的除法是向 0 取整，而这里的右移是向下取整（注意这里的区别），即当数大于等于 0 时两种方法等价，当数小于 0 时会有区别，如： -1 / 2 的值为 $0$ ，而 -1 >> 1 的值为 $-1$ 。

判断一个数是不是 2 的非负整数次幂

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bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }

对 2 的非负整数次幂取模

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int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }

取绝对值

在某些机器上，效率比 n > 0 ? n : -n 高。

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int Abs(int n) {
  return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
  /* n>>31 取得 n 的符号，若 n 为正数，n>>31 等于 0，若 n 为负数，n>>31 等于 -1
     若 n 为正数 n^0=n, 数不变，若 n 为负数有 n^(-1)
     需要计算 n 和 -1 的补码，然后进行异或运算，
     结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1，再减去 -1 就是绝对值 */
}

取两个数的最大/最小值

在某些机器上，效率比 a > b ? a : b 高。

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// 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0，否则为 -1
int max(int a, int b) { return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31); }
int min(int a, int b) { return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31); }

判断符号是否相同

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bool isSameSign(int x, int y) {  // 有 0 的情况例外
  return (x ^ y) >= 0;
}

交换两个数

note: “该方法具有局限性”
这种方式只能用来交换两个整数，使用范围有限。

对于一般情况下的交换操作，推荐直接调用 `algorithm` 库中的 `std::swap` 函数。
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void swap(int &a, int &b) { a ^= b ^= a ^= b; }

获取一个数二进制的某一位

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// 获取 a 的第 b 位，最低位编号为 0
int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }

将一个数二进制的某一位设置为 0

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// 将 a 的第 b 位设置为 0 ，最低位编号为 0
int unsetBit(int a, int b) { return a & ~(1 << b); }

将一个数二进制的某一位设置为 1

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// 将 a 的第 b 位设置为 1 ，最低位编号为 0
int setBit(int a, int b) { return a | (1 << b); }

将一个数二进制的某一位取反

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// 将 a 的第 b 位取反 ，最低位编号为 0
int flapBit(int a, int b) { return a ^ (1 << b); }

表示集合

一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。比如集合 {1, 3, 4, 8} ，可以表示成 $(100011010)_2$ 。而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。

操作 集合表示 位运算语句
交集 $a \cap b$ a & b
并集 $a \cup b$ `a
补集 $\bar{a}$ ~a （全集为二进制都是 1）
差集 $a \setminus b$ a & (~b)
对称差 $a\triangle b$ a ^ b

遍历某个集合的子集

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// 遍历 u 的非空子集
for (int s = u; s; s = (s - 1) & u) {
  // s 是 u 的一个非空子集
}

用这种方法可以在 $O(2^{popcount(u)})$ （ $popcount(u)$ 表示 $u$ 二进制中 1 的个数）的时间复杂度内遍历 $u$ 的子集，进而可以在 $O(3^n)$ 的时间复杂度内遍历大小为 $n$ 的集合的每个子集的子集。（复杂度为 $O(3^n)$ 是因为每个元素都有 不在大子集中/只在大子集中/同时在大小子集中 三种状态。）

bitset

如果需要操作的集合非常大，可以使用 bitset 。